La Divina Geometría, un libro ameno para comprender la Geometría.

Introducción

¿Divina Geometría? Si somos capaces de captar lo bello que hay en el mundo, si nos asombramos al escuchar el hermoso canto de un mirlo o si llegamos a llorar de la emoción al escuchar una música cuyos cimientos son armoniosos y trascendentes. Entonces, sí, la geometría es divina. 

La geometría lejos de ser una disciplina o saber fragmentado se encuentra en todo lo que nos rodea. La geometría es necesaria en el diseño gráfico, en la ingeniería, en la arquitectura, en la medicina y en las bellas artes. La música y la geometría son hermanas.

Es divina porque todos los sabios geómetras buscaban el conocimiento y la trascendencia a través de la compresión del mundo, esto es: geometría de Geo tierra y metría ciencia del medir. 

Para ellos el número tenía una profunda base cualitativa - y no solo cuantitativa-, para ellos los números eran sagrados.

La divina geometría de Jaime Buhigas Tallon, es un libro que recomendamos a todo aquel que quiera iniciarse en el mundo sorprendente de la Geometría con una visión más amplia que la que impera normalmente en el estudio de esta materia. Una materia que ha sido aislada y estudiada como una ciencia fría y alejada, demasiado abstracta, tanto la geometría como la matemática. Una visión más amplia y rica, la Geometría aplicada no sólo a los números o figuras abstractas sino también a la Vida, al cuerpo humano, a la Naturaleza, a la arquitectura, a las artes, a la Música. 
He seleccionado algunas frases de tan maravilloso libro y algunas de sus ilustraciones.

Tetractis

Todo está hecho según el número, Pitágoras

"El número nos ha salvado del caos primigenio y gracias al número nuestra experiencia de lo infinito comienza a ser soportable. El número implica un primer orden y el orden implica un camino para el conocimiento"

Biblioteca del Monasterio de El Escorial

La enorme bóveda está dividida en siete grandes tramos, una alegoría de las artes liberales: tres para el Trivium (Gramática, Retórica y Dialéctica) y cuatro para el Cuatrivium (Aritmética, Música, Geometría y Astronomía), la Filosofía al Norte y en frente al Sur la Teología.

La música como símbolo de Armonía, y por lo tanto, de orden, y en consecuencia símbolo también de curación y salud, era exactamente la aplicación física que Pitágoras y sus seguidores hacían de todos sus conocimientos geométricos. Pitágoras propuso una escala musical, como consecuencia de sus conocimientos matemáticos y geométricos. Y con esa geometría en el tiempo, con esas proporciones hechas sonido, los pitagóricos curaban enfermos.

Pitágoras

La geometría es ese saber que, al profundizar en las leyes elementales del universo, al sumergirse en el misterio creacional de la fracción de la unidad primigenia, integra, une y vincula a todos los demás conocimientos.

La circunferencia es, desde las más remotas civilizaciones, el símbolo de la divinidad. Además como forma geométrica es completamente homogénea: lo de arriba es como lo de abajo, e igual en todo a sus partes laterales. La circunferencia no tiene ni principio ni fin. Su única ley es que todos los puntos equidistan de otro punto que, para más trascendencia es invisible y que no forma parte de la circunferencia propiamente dicha: se llama “centro”. La circunferencia son todos los puntos que están a esa distancia del centro, y en ella están todos los que son. Esta extraordinaria particularidad confiere a la circunferencia un carácter de plenitud, de profundo equilibrio, de absoluta unidad. Es la forma perfecta, la forma ideal. Es la forma asociada al número UNO, a la unidad primigenia, a lo absoluto, a lo divino, a lo universal.

El cuadrado, sin embargo está diferenciado. De todos los puntos que lo configuran hay cuatro que lo fragmentan,y lo hacen de algún modo, imperfecto: sus vértices. Ya no son todos iguales ni obedecen a única ley, como los puntos de la circunferencia.

El cuadrado es pues, símbolo de lo mortal, símbolo de imperfección, de lo conmensurable y de lo sensorial. Es símbolo, en definitiva de la naturaleza perecedera, de los seres vivos, de la “creación separada del creador” (...) Sin embargo parece que el cuadrado guarda ciertas reminiscencias divinas, debido a que sus cuatro vértices pertenecen a una circunferencia (...) No es vano, el cuadrado será la segunda gran forma sagrada en la tradición antigua.

Arco romano, conjunción del círculo y el cuadrado.

La unión de la circunferencia y del cuadrado proclama la unión de los opuestos, y por lo tanto simboliza la vía de trascendencia, desde la creación al creador, desde la tierra al cielo

Una proporción es la conservación de la razón, en tres elementos: diferentes magnitudes pero una misma manera de relacionarse entre ellas. El hecho de existir un vínculo común, una “unidad” secreta, enmascarada por segmentos o magnitudes diferentes, está muy en sintonía con la búsqueda de la unidad primera.

(...) La experimentación de la naturaleza, que sin lugar a dudas es y siempre será la más grandiosa e irrepetible obra de arte, nos desvela que su esencia es ordenada. El hombre participa de ese orden y, por lo tanto, al experimentarlo cuando observa la creación, siente la belleza.

Proporción aurea

Los tres segmentos cumplen una proporción, además cumplen otra interesante propiedad: el segmento grande es exactamente la suma de los otros dos. Pues bien,, sólo cuando esto ocurre, nos encontramos lo que se conoce como proporción áurea. La razón común entre los segmentos de esta proporción es el famoso “número de oro”. Esta razón pertenece a esa familia excepcional de razones “inconmensurables” .

Lo creas o no la música se hace con números, con relaciones, con razones y proporciones. Pitágoras aplicó gran parte de todos sus conocimientos geométricos a la música, cuando advirtió que la frecuencia de la vibración sonora de una cuerda tensada, al ser pulsada o percutida, es inversamente proporcional a la longitud de la misma. Esto es lo mismo que decir que las distintas longitudes de una cuerda originan sonidos diferentes; más agudos (o de mayor frecuencia) cuanto más pequeña sea la longitud. Lo primero que advirtió es que dos cuerdas con razón 2:1 producen al sonar a la vez un efecto muy agradable. Son dos notas diferentes pero que de algún modo son la misma. Éste es el fundamento geométrico de lo que llamamos un intervalo de octava y Pitágoras llamó “diapasón”.

Formación de escala musical diatónica pitagórica.

La serie Fibonacci describe un modo de crecimiento que se va a corresponder con numerosísimos casos de crecimiento en la naturaleza. 

La distribución de las hojas alrededor del tallo se produce siguiendo secuencias basadas exclusivamente en números de la serie Fibonacci.

El número de espirales en numerosas flores y frutos también se ajusta a parejas consecutivas de términos de esta sucesión: los girasoles tienen 55 espirales en un sentido y 89 en el otro, o bien 89 y 144.

Las margaritas presentan las semillas en forma de 21 y 34 espirales.

Y cualquier variedad de piña presenta siempre un número de espirales coincide con dos términos de la sucesión de los números de Fibonacci: 8 y 13, o 5 y 8.

De todas las particularidades de esta serie de crecimiento, quisiera que profundizáramos sólo en una. Se trata de la preciosa relación que guarda la serie de Fibonacci con el número Phi.

1, 1, 2, 3, 5, 6, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233...

A continuación vamos a estudiar la razón que existe entre cada par de términos consecutivos de la serie. Así, la razón entre los dos primeros términos será 1/1, la razón entre el segundo y el tercero 2/1, entre el tercero y el cuarto 3/2, etc. De este modo obtendremos el resto de las razones: 5/3.8/5,13/8,21/13,34/21, etc. Obtendremos los siguientes resultados:

1/1= 1 2/1=2

3/2= 1,5 5/3=1,6666...

8/5= 1,6 13/8=1,625

21/13=1,6153... 34/21=1,6190...

55/34=1,6176... 89/55= 1,61818...

144/89=1,6179... 233/144=1,6180...

Fíjate en el grado de proximidad al número áureo en los últimos resultados. Los valores de las razones entre términos consecutivos de una serie de Fibonacci convergen al “número de oro”. Nunca lo alcanzarán plenamente, pero el resultado será igual, en un número mayor de decimales, según vaya utilizando términos más grandes. Y así hasta el infinito.

¡La relación entre la serie Fibonacci y el número Phi es inevitable!

Geométricamente podemos comprobar esta relación a través de esta sencilla construcción

Ilustración Libro La Divina Geometría: Fibonacci

Geométricamente, la secuencia áurea, gracias a ser serie de Fibonacci, se convierte en la sucesión geométrica más sencilla de dibujar, basta con tomar la medida de dos segmentos contiguos para obtener el siguiente.

Ilustración Libro La Divina Geometría

Las sucesiones geométricas y aritméticas marcan el patrón de crecimiento de las espirales, que son, sin lugar a dudas, las construcciones geométricas que mejor representan el crecimiento infinito.

Espiral de Arquímedes, espiral logarítmica. Ilustración Libro La Divina Geometría.

Los tres cuadrados conservarán de algún modo una relación entre ellos, que arrojará luz sobre la relación original de los tres lados del segmento.

La superficie del mayor es exactamente igual a la superficie de los otros dos juntos. El cuadrado más grande es la suma de los otros dos.

“El cuadrado mayor es igual a la suma de los dos anteriores”: el teorema de Pitágoras nos viene a decir que los tres cuadrados forman una secuencia de la serie universal de Fibonacci.

Cada trío de cualquier secuencia sacada de una sucesión de Fibonacci cumple que el término mayor es la suma de los dos anteriores.

3-5-8 ----------> 5-8-13 ---------------> 8-13-21...

Cada nuevo trío tendrá asociados los lados de un triángulo rectángulo determinado. Esta operación puedo efectuarla indefinidamente, obteniendo así infinitos triángulos rectángulos, cada uno de ellos consecuencio de los tríos crecientes de la serie de Fibonacci.

Hasta llegar a un triángulo al que nunca llegarán pero al que se asemejarán infinitamente. Este misterioso triángulo inalcanzable, pero infinitamente aproximable, es el maravilloso “triángulo de Price”, que debe su nombre al matemático W.A. Price. Este triángulo aparte de ser el límite de la sucesión de triángulos planteada, es el único triángulo rectángulo en el universo que cumple que sus tres lados forman una proporción. Es decir, que la razón entre el cateto menor y el mayor es igual a la razón entre el cateto mayor y la hipotenusa. Los lados están en progresión geométrica. La razón entre el cateto menor y la hipotenusa en Phi. Este triángulo aparece en la gran pirámide de Keops.

Libro La Divina Geometría

El triángulo sagrado egipcio, es aquel cuyos lados son iguales a 3,4 y 5. 3+1 es 4 y 4 +1 es 5, luego es proporción aritmética. Este triángulo se construye con gran facilidad utilizando tan sólo una cuerda con un total de trece nudos colocados a distancias iguales. Al cerrar la cuerda y tensarla de los nudos 3 y 7, la figura resultante es un triángulo sagrado egipcio.

Libro La Divina Geometría

Otro triángulo rectángulo de gran interés es el formado por las tres grandes raíces egipcias, los tres primeros números inconmensurables.

Libro La Divina Geometría

Los triángulos rectángulos tienen la propiedad de que al duplicarse se convierten en un rectángulo. Se trata del rectángulo raíz cuadrada de dos. Sólo este número permite duplicar o dividir en dos superficies, manteniendo su razón.

A Phi lo llamamos sección áurea cuando lo identificamos como un punto de un segmento. Es el punto que “secciona” al segmento, de modo que la razón entre el trozo menor y el mayor es la misma que la que hay entre el trozo mayor y la totalidad del segmento. El valor de Phi es:

1,6180339887498948482045...

El pentágono estrellado o pentalfa es por excelencia la construcción geométrica más íntimamente relacionada con el número de oro. Todas las distintas longitudes que encuentras en los segmentos de la figura están entre sí en razón áurea.

Para los Pitagóricos el pentágono y el cinco eran el número del hombre y de la naturaleza viviente, del crecimiento y de la armonía natural, del movimiento del alma. Era además el número de la perfección humana y simbolizaba al hombre microcósmico.

Triángulos áureos, son dos triángulos isósceles en los que la razón entre los lados iguales y el diferente es Phi. Ambos triángulos debida a su estrecha relación con phi, cumplen la extraordinaria propiedad de que al sumarse o al restarse mutuamente se vuelven a generar a ellos mismos en otra escala.

Libro La Divina Geometría

Rectángulo áureo. Presenta a su vez esta hermosa propiedad: cuando le sumo un cuadrado de lado igual a su lado mayor la figura resultante es otro triángulo áureo.

O al revés: si a un rectángulo áureo le resto la superficie de un cuadrado de lado igual al lado menor, el rectángulo resultante es también un rectángulo áureo.

Esta fenomenal propiedad produce la famosa descomposición del rectángulo áureo en cuadrados y rectángulos áureos menores, que a su vez sirven de guía para el trazado de la espiral áurea, o espiral de Durero.

El hombre de Vitrubio de Leonardo da Vinci

“(...) Si el cuerpo humano de modo que sus miembros guardan una exacta proporción respecto a todo el cuerpo, los antiguos fijaron también esta relación completa de sus obras, donde cada una de sus partes guarda una exacta y puntual proporción de las medidas en todas sus obras, pero sobre todo las tuvieron en cuenta en la construcción de los templos de los dioses, que son un claro reflejo para la posteridad de sus aciertos y logros, como también de sus descuidos y negligencias”.

Vitrubio, De architectura, Libro Tercero, capítulo I.

Leonardo da Vinci fue un estudioso de la obra de Vitrubio. El ser humano se adapta tanto a la divinidad circunferencia como al terrenal cuadrado. Cuando la figura humana se inserta en el cuadrado, su centro (la mitad de su altura) coincide con los genitales: lógica posición capital del símbolo de lo terreno, de lo carnal. Por el contrario, cuando la anatomía humana sugiere en su posición la forma circular, el centro de la circunferencia coincide con el ombligo, donde se encuentra la sección áurea de la altura total de todos los cánones clásicos. Entre la circunferencia y el cuadrado que nos dibujo Leonardo existe esta interesante relación: la razón entre el lado del cuadrado y el radio de la circunferencia es precisamente el número de oro.

Phi es ante todo el número que aparece infinitas veces en la composición geométrica de cualquier canon del ser humano y, como consecuencia, en los mejores ejemplos de pintura, escultura y arquitectura de la historia del arte. Por hacer un rápido recorrido por la manifestación de este número sacro, Phi es, en el ser humano, la proporción entre la altura total de una persona y la altura de su ombligo; es la proporción entre las falanges de los dedos; entre la mano y el antebrazo; entre la anchura de la boca y la de la nariz; la altura y la anchura de la cabeza… Phi está presente en toda flor de cinco pétalos, en las estrellas de mar, en la disposición de las hojas en una planta, en las espirales de las conchas marinas, en la relación entre los ciclos solares y lunares… Y, por supuesto, al ser el arte imitación de la naturaleza, Phi está en la génesis geométrica del Partenón de Atenas, de la Gran Pirámide de Keops, Notre Dame de París, el Taj Mahal, San Lorenzo de El Escorial, el Coliseo y el Panteón de Roma, entre otros miles de edificios sagrados. (Laberintos, Jaime Buhigas Tallon)

El templo refleja en su forma los grandes números del hombre que a su vez son los grandes números del universo. Es la manifestación sensorial de este punto de encuentro. Es el puente que facilita la mímesis.

Algunos dibujos geométricos propios inspirados tras la lectura del libro, es importante hacerse de un buen compas, cartabón, escuadra, portaminas etc. Y sobre todo de entusiasmo.

Geometría del violín

Escala musical diatónica en el sello de Salomón o estrella de David

Sólidos platónicos

Construcciones con palitos de bambú, si queréis saber como construirlos escribidme. También se pueden usar pajitas de refresco e hilo de nylon.

Una charla muy interesante del autor del libro, Jaime Buhigas, para aprender más sobre Pitágoras, los números y la geometría.

“Tanto la sabiduría como la enseñanza son experiencias vivas, que demandan tiempo, esfuerzo, convivencia , sacrificio, pasión y mucho amor. No se puede amar lo que no se conoce, del mismo modo que no se puede conocer lo que no se ama”